У вас есть калькулятор, который выполняет с целым числом только следующие операции: сложить и , умножить на или умножить на . Имея положительное целое число , вы должны найти минимальное количество операций, необходимых для получения числа из числа .
Попробуем решить эту задачу с помощью «жадной» стратегии: если текущее число не превышает , то умножим его на 3; если оно больше , но не больше , то умножим его на 2; в остальных случаях добавим к нему 1. Это приводит к следующему псевдокоду.
1GreedyCalculator(n):
2 numOperations = 0
3 currentNumber = 1
4 while currentNumber<n:
5 if currentNumber <= n/3:
6 currentNumber = 3*currentNumber
7 else if currentNumber <= n/2:
8 currentNumber = 2*currentNumber
9 else:
10 currentNumber = 1+currentNumber
11 numOperations = numOperations+1
12 return numOperations
💡 Остановитесь и подумайте:
Сможете ли вы найти такое число , при котором GreedyCalculator(n) приводит к неправильному ответу?
-
Входные данные: Целое число .
-
Выходные данные: В первой строке: — минимальное число необходимых операций для получения из . Во второй строке: последовательность промежуточных чисел. Так, вторая строка должна содержать положительные целые числа , при которых , , и для всех равно , или . Если таких последовательностей много, то можно вывести любую из них.
-
Ограничения: .
Пример 1
|
Ввод |
Вывод |
|
1 |
0 |
Пример 2
|
Ввод |
Вывод |
|
96234 |
14 |
- Ещё один корректный вывод в этом случае — это «1 3 9 10 11 33 99 297 891 2673 8019 16038 16039 48117 96234».
Рассмотрим решение задачи. Пусть — минимальное количество операций, необходимых для получения числа из числа . Так как последняя операция в оптимальной последовательности — это «», «» или «», мы получаем следующее рекуррентное соотношение для :
Данное рекуррентное соотношение, вместе с базовым случаем , можно трансформировать в рекурсивный, а затем в итерационный алгоритм.
1Calculator(n):
2 table[1..n]←[+infinity,…,+infinity]
3 table[1] = 0
4
5 for k from 2 to n:
6 table[k]=1+table[k−1]
7 if k is divisible by 2:
8 table[k]=min(table[k],1+table[k/2])
9 if k is divisible by 3:
10 table[k]=min(table[k],1+table[k/3])
11 return table[n]
Помните, что помимо оптимального значения необходимо вывести оптимальную последовательность операций. Для этого обратим внимание на то, что мы можем найти последнюю операцию следующим образом:
- это «», если ;
- это «», если можно разделить на и ;
- это «», если можно разделить на и .
Эти действия позволяют нам выявить оптимальную последовательность:
- найти последнюю операцию;
- заменить на , или (в зависимости от того, какой это из трёх случаев выше);
- повторить (пока ).
1Calculator(n):
2 table[1..n]←[+infinity,…,+infinity]
3 table[1] = 0
4
5 for k from 2 to n:
6 table[k]=1+table[k−1]
7 if k is divisible by 2:
8 table[k]=min(table[k],1+table[k/2])
9 if k is divisible by 3:
10 table[k]=min(table[k],1+table[k/3])
11
12 operations = empty list
13 while n > 1:
14 append n to operations
15 if table[n]=1+table[n−1]:
16 n = n - 1
17 else if n is divisible by 2 and table[n]=1+table[n/2]:
18 n = n/2
19 else if n is divisible by 3 and table[n]=1+table[n/3]:
20 n = n/3
21 return operations
Время выполнения алгоритма составляет .