8.3. Задача «Простой калькулятор»

В этом параграфе вы научитесь строить оптимальную последовательность операций, которая позволяет получить заданное число, начиная с 1. На первый взгляд кажется разумным всегда делить число пополам, если это возможно, — но такой жадный подход не гарантирует кратчайшего пути. Мы разберём, как динамическое программирование позволяет найти действительно минимальную последовательность шагов.

Ключевые вопросы параграфа

• Почему жадная стратегия не гарантирует оптимальный результат при построении последовательности операций?
• Как использовать динамическое программирование для поиска минимального числа шагов?
• Как восстановить оптимальную последовательность действий из таблицы значений?

Вводная информация по задаче

У вас есть калькулятор, который выполняет с целым числом только следующие операции: сложить и , умножить на или умножить на . Имея положительное целое число , вы должны найти минимальное количество операций, необходимых для получения числа из числа .

Попробуем решить эту задачу с помощью «жадной» стратегии: если текущее число не превышает , то умножим его на 3; если оно больше , но не больше , то умножим его на 2; в остальных случаях добавим к нему 1. Это приводит к следующему псевдокоду.

1GreedyCalculator(n):
2    numOperations = 0
3    currentNumber = 1
4    while currentNumber<n:
5        if currentNumber <= n/3:
6            currentNumber = 3*currentNumber
7        else if currentNumber <= n/2:
8            currentNumber = 2*currentNumber
9        else: 
10            currentNumber = 1+currentNumber
11        numOperations = numOperations+1
12    return numOperations

Остановитесь и подумайте:
Сможете ли вы найти такое число , при котором GreedyCalculator(n) приводит к неправильному ответу?

• Входные данные: Целое число .
• Выходные данные: В первой строке: — минимальное число необходимых операций для получения из . Во второй строке: последовательность промежуточных чисел. Так, вторая строка должна содержать положительные целые числа , при которых , , и для всех равно , или . Если таких последовательностей много, то можно вывести любую из них.
• Ограничения: .

Пример 1

Пример 2

• Ещё один корректный вывод в этом случае — это «1 3 9 10 11 33 99 297 891 2673 8019 16038 16039 48117 96234».

Решение

Рассмотрим решение задачи. Пусть — минимальное количество операций, необходимых для получения числа из числа . Так как последняя операция в оптимальной последовательности — это «», «» или «», мы получаем следующее рекуррентное соотношение для :

Данное рекуррентное соотношение, вместе с базовым случаем , можно трансформировать в рекурсивный, а затем в итерационный алгоритм.

1Calculator(n):
2    table[1..n]←[+infinity,…,+infinity]
3    table[1] = 0
4
5    for k from 2 to n:
6        table[k]=1+table[k−1]
7        if k is divisible by 2:
8            table[k]=min(table[k],1+table[k/2])
9        if k is divisible by 3:
10            table[k]=min(table[k],1+table[k/3])
11    return table[n]

Помните, что помимо оптимального значения необходимо вывести оптимальную последовательность операций. Для этого обратим внимание на то, что мы можем найти последнюю операцию следующим образом:

• это «», если ;
• это «», если можно разделить на и ;
• это «», если можно разделить на и .

Эти действия позволяют нам выявить оптимальную последовательность:

1. найти последнюю операцию;
2. заменить на , или (в зависимости от того, какой это из трёх случаев выше);
3. повторить (пока ).

1Calculator(n):
2    table[1..n]←[+infinity,…,+infinity]
3    table[1] = 0
4
5    for k from 2 to n:
6        table[k]=1+table[k−1]
7        if k is divisible by 2:
8            table[k]=min(table[k],1+table[k/2])
9        if k is divisible by 3:
10            table[k]=min(table[k],1+table[k/3])
11
12    operations = empty list
13    while n > 1:
14        append n to operations
15        if table[n]=1+table[n−1]:
16            n = n - 1
17        else if n is divisible by 2 and table[n]=1+table[n/2]:
18            n = n/2
19        else if n is divisible by 3 and table[n]=1+table[n/3]:
20            n = n/3
21    return operations

Время выполнения алгоритма составляет .

Что дальше

Теперь вы знаете, как находить минимальную последовательность операций для получения заданного числа, используя динамическое программирование. Вы научились строить таблицу значений и восстанавливать по ней путь — от цели к началу. А ещё убедились, что жадный подход может подвести, даже если кажется логичным.

Далее — задача на редактирование строк. Вы узнаете, как рассчитать расстояние между двумя строками, используя матрицу изменений, и зачем это нужно в задачах на сравнение, поиск и коррекцию.

А пока вы не ушли дальше — закрепите материал на практике:

• Отметьте, что урок прочитан, при помощи кнопки ниже.
• Пройдите мини-квиз, чтобы проверить, насколько хорошо вы усвоили тему.
• Перейдите к задачам этого параграфа и потренируйтесь.
• Перед этим — загляните в короткий гайд о том, как работает система проверки.

Хотите обсудить, задать вопрос или не понимаете, почему код не работает? Мы всё предусмотрели — вступайте в сообщество Хендбука! Там студенты помогают друг другу разобраться.

Ключевые выводы параграфа

• Жадный алгоритм может не давать оптимальный результат — даже если кажется разумным.
• Динамическое программирование позволяет найти кратчайшую последовательность операций с минимальными затратами.
• Чтобы восстановить путь, нужно не только посчитать значения, но и зафиксировать переходы.
• Умение строить такие цепочки важно для задач, где нужно не только посчитать, но и объяснить, как получить ответ.