Зачастую в графах требуется находить между вершинами кратчайшие пути. Один из алгоритмов нахождения кратчайших путей от заданной вершины до любой другой — алгоритм Дейкстры. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса.
Опишем принцип работы алгоритма Дейкстры:
- Шаг 1. Всем вершинам, за исключением первой, присваивается вес равный бесконечности, а первой вершине — 0.
- Шаг 2. Все вершины не посещены.
- Шаг 3. Первая вершина объявляется текущей.
- Шаг 4. Вес всех невыделенных вершин пересчитывается по формуле: вес невыделенной вершины есть минимальное число из старого веса данной вершины, суммы веса текущей вершины и веса ребра, соединяющего текущую вершину с невыделенной.
- Шаг 5. Среди невыделенных вершин ищется вершина с минимальным весом. Если такова не найдена, то есть вес всех вершин равен бесконечности, то маршрута не существует. Следовательно, выход. Иначе, текущей становится найденная вершина. Она же выделяется.
- Шаг 6. Если текущей вершиной оказывается конечная, то путь найден, и его вес есть вес конечной вершины.
- Шаг 7. Переход на шаг 4.
Пример работы алгоритма показан на картинке ниже.
Посмотрим на реализацию.
1Dijkstra(graph, start, finish, used):
2 vector d(n, inf), p(n, -1)
3 n = len(graph)
4 graph[v] = 1
5 for (int i = 0; i < n; ++i)
6 int v = -1
7 for (int j = 0; j < n; ++j)
8 if (!used[j] and (v == -1 or d[j] < d[v]))
9 v = j
10 used[v] = true
11 for (int j = 0; j < len(graph[v]); ++j)
12 to = graph[v][i].vertex
13 len = graph[v][i].edge
14 if (d[v] + len < d[to])
15 d[to] = d[v] + len
16 p[to] = v
Асимптотическая сложность алгоритма Дейкстры — , где — число вершин, а — число рёбер и дуг.
✒️ Упражнение:
Подумайте, как восстановить путь используя введённый массив p?
✒️ Упражнение:
Как изменится кратчайший путь, если все веса рёбер увеличить на какое-то число?
✒️ Упражнение:
Как изменится кратчайший путь, если все веса рёбер увеличить в какое-то число раз?
✒️ Упражнение:
Подумайте, почему алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса?