В этом параграфе вы разберёте задачу, в которой нужно раздать ограниченное количество конфет максимально возможному числу призёров, соблюдая строгий порядок награждения. Это пример нестандартной задачи, которую можно решить с помощью жадного подхода и внимательного анализа. Вы научитесь строить возрастающие последовательности и использовать арифметические свойства для оптимального распределения.
Ключевые вопросы параграфа
- Как спланировать последовательность наград, чтобы максимизировать число получателей?
- Почему здесь работает жадный подход и как доказать его корректность?
- Как использовать свойства суммы арифметической прогрессии при решении алгоритмических задач?
Нестандартная задача и жадный алгоритм
Вы занимаетесь организацией соревнований для детей, и у вас есть конфет, которые собираетесь раздать в качестве призов. Вы хотите отдать эти конфеты тем, кто займёт первые мест в соревнованиях, и распределить конфеты так, чтобы за более высокое место всегда выходило больше конфет. Чтобы порадовать как можно больше детей, вам понадобится найти самое большое значение , при котором это возможно.
- Входные данные: Целое число .
- Выходные данные: Первая строка содержит максимальное число , при котором можно представить как сумму пар неповторяющихся положительных целых чисел. Вторая строка — пар неповторяющихся положительных целых чисел, сумма которых будет (если есть несколько таких вариантов, то можно использовать любой из них).
- Ограничения: .
Пример 1
|
Ввод |
Вывод |
|
6 |
3 |
Пример 2
|
Ввод |
Вывод |
|
8 |
3 |
Пример 3
|
Ввод |
Вывод |
|
2 |
1 |
Упражнение
Можно ли представить 8 как сумму четырёх неповторяющихся положительных целых чисел?
Нетрудно понять, что ответ на этот вопрос: «Нет». Предположим, что и . Тогда , , и . Однако тогда .
По этой же причине, если равно сумме неповторяющихся положительных целых чисел , то . Верно и обратное: если , то можно представить как сумму неповторяющихся целых чисел.
Действительно, пусть . Тогда будет равно сумме следующих целых чисел: . Несложно заметить, что все они отличаются друг от друга.
Алгоритм состоит в нахождении самого большого значения , при котором .
Время выполнения — или .
Что дальше
Теперь вы умеете применять жадные алгоритмы для распределения ограниченного ресурса и знаете, в каких случаях такая стратегия приводит к оптимальному решению.
Далее — финальная задача главы. Она покажет, что даже на собеседовании можно столкнуться с подводными камнями жадной стратегии: чтобы получить максимальный «оклад», придётся сравнивать не числа, а строки.
А пока вы не ушли дальше — закрепите материал на практике:
- Отметьте, что урок прочитан, при помощи кнопки ниже.
- Пройдите мини-квиз, чтобы проверить, насколько хорошо вы усвоили тему.
- Перейдите к задачам этого параграфа и потренируйтесь.
- Перед этим — загляните в короткий гайд о том, как работает система проверки.
Хотите обсудить, задать вопрос или не понимаете, почему код не работает? Мы всё предусмотрели — вступайте в сообщество Хендбука! Там студенты помогают друг другу разобраться.
Ключевые выводы параграфа
- Жадные алгоритмы хорошо работают в задачах распределения, когда нужно покрыть максимум с минимальными затратами.
- Иногда достаточно отсортировать входные данные и обрабатывать их по порядку — это уже даёт оптимальный результат.
- Простые стратегии требуют точной формулировки и аккуратной реализации — особенно при работе с ограничениями.