Случайности окружают нас повсюду: от элементарных игр на удачу до сложных систем вроде социальной динамики или финансовых рынков. Чтобы эффективно анализировать и предсказывать события реальной жизни, нам необходимо строить математические модели, которые их описывают.
Поскольку большинство интересующих нас событий имеют случайную природу, нам необходим фундамент для построения вероятностных моделей. Таким фундаментом является понятие вероятностного пространства.
Рассмотрим самую простую ситуацию, в которой возникает случайность: пусть мы подкидываем кубик и у нас может выпасть любое число очков от 1 до 6. Возможные результаты броска, то есть «на кубике выпало очков», называются элементарными исходами.
Иногда нас интересует, не сколько именно очков выпало, а было ли количество очков, например, чётным. Такие наборы элементарных исходов называются случайными событиями.
Мы также можем задаться вопросом, насколько ожидаемо то или иное событие. В этом случае говорят про вероятность. Чтобы найти вероятность события, нам нужно посчитать (сложить) вероятности элементарных исходов, из которых оно состоит.
Вернёмся к примеру с кубиком. Если кубик честный, все элементарные исходы равновероятны. Элементарных исходов всего 6, и сумма их вероятностей равна 1 — на кубике гарантированно выпадет одно из этих чисел. Значит, вероятность каждого элементарного исхода равна . Тогда вероятность наступления события «выпало чётное число очков» равняется :
Чтобы полностью определить вероятностное пространство, нужно описать множество элементарных исходов, множество событий, для которых мы можем посчитать вероятности, и задать вероятность на множестве всех событий.
Сейчас мы обсудим, как вероятностное пространство определяют строго математически. Не переживайте, если поймёте не всё сразу, — ниже будут приведены подробные примеры.
Итак, вероятностное пространство — это тройка . Да, она пишется именно в скобках и читается как «омега», «эф», «пэ». В этой тройке:
- Ω — множество произвольной природы, которое мы называем
пространством элементарных исходов. Элементарные исходы — это суть того, что появляется в результате одного эксперимента. - — множество всех случайных событий, каждое из которых является подмножеством (здесь — это множество всех подмножеств ). На самом деле в качестве можно взять не любой набор подмножеств . Это должна быть так называемая -алгебра (сигма-алгебра), то есть должна удовлетворять следующим условиям:
- . Это означает, что мы всегда можем измерить вероятность события , которое говорит, что в результате нашего случайного эксперимента хоть что-то произойдёт. Как вы могли догадаться, вероятность такого события будет всегда равна 1.
- Если , то . То есть, если мы можем измерить вероятность того, что событие произойдёт, то мы также можем измерить вероятность того, что событие не произойдёт.
- Если , то . Это условие можно понимать так: если мы можем найти вероятность каждого из событий, то можем найти и вероятность, что хотя бы одно из них произойдёт.
- — функция, которая каждому событию ставит в соответствие его вероятность, то есть число от 0 до 1. Мы также требуем от выполнения следующих естественных условий:
- Вероятность того, что в результате эксперимента что-то произойдёт, равна 1, то есть .
- Для взаимоисключающих событий вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из них, равна сумме их вероятностей. Математически это записывается так: если при , то .
На картинке ниже мы привели наглядный пример вероятностного пространства со множеством элементарных исходов , а также список всех событий (элементов ) и их вероятностей.
Чтобы разобраться с определением вероятностного пространства получше, рассмотрим некоторые частные случаи.
Модель классической вероятности
Вернёмся к нашему честному кубику и опишем строго вероятностное пространство. В этом случае:
- ,
- ,
- для любого .
В общем случае если — конечное множество, а и заданы как в примере с кубиком, то называется моделью классической вероятности.
Когда рассматривается некоторое событие , то элементарные исходы, содержащиеся в событии , называют благоприятными. Поэтому формулу можно понимать как долю благоприятных исходов, то есть отношение количества благоприятных исходов к числу всех исходов.
Проиллюстрируем модель классической вероятности ещё одним примером.
На самом деле на конечном множестве можно задать вероятность и по-другому.
Конечные вероятностные пространства
Рассмотрим конечное множество:
И зададим произвольные вероятности элементарных исходов:
Это задаст однозначно вероятность каждого события .
Проиллюстрируем на примере.
Такие вероятностные пространства встречаются на практике очень часто. Они появляются тогда, когда мы описываем результаты эксперимента с конечным количеством исходов. Например, когда мы ловим рыбу в пруду, вероятности поймать рыбу разных видов разные. Когда едем на работу, вероятность опоздать не равна вероятности приехать вовремя. А когда играем в дартс, вероятности попадания в каждый из секторов не равны друг другу.
Модель геометрической вероятности
Ещё один важный частный случай общей схемы вероятностного пространства — это модель геометрической вероятности.
В этом случае — это некоторая геометрическая область (если говорить более строго, то — измеримое по Лебегу множество положительной меры). Оказывается, что взять в качестве множество уже нельзя, так как не все подмножества оказываются измеримыми в хоть сколько-нибудь разумном смысле.
Поэтому в качестве берут -алгебру множеств, измеримых по Лебегу, а для любого вероятность задают формулой , где — это мера Лебега.
Меру Лебега можно рассматривать как некоторое разумное обобщение длины на прямой, площади на плоскости и объёма в пространстве. Пример: если у плоской фигуры можно измерить площадь, то её мера Лебега — это её площадь.
Давайте рассмотрим следующий пример. Пусть мы случайно и независимо выбираем два числа из отрезка [0, 2]. Попробуем, например, посчитать вероятность, что они будут отличаться друг от друга не менее чем на 1.
Выбранные числа — это пара , то есть — это квадрат на плоскости. Площадь равна 4.
Условие, что они отличаются друг от друга не менее чем на 1, можно записать как:
Нарисуем и закрасим интересующую нас область.
Закрашенная область — два равных прямоугольных треугольника, площадь каждого из них равна . То есть:
Разберём ещё один пример, который часто встречается на практике.
Декартово произведение вероятностных пространств
Пусть мы подкидываем нечестную монетку раз. Нечестная монетка отличается от честной тем, что у неё вероятность выпадения орла равна некоторому числу , не обязательно равному .
Вероятностное пространство в этом случае будет состоять из всех последовательностей длины из орлов (О) и решек (Р). В частности, . Множество конечно, поэтому в качестве можно взять .
Теперь зададим вероятность. Вероятность выпадения орла равна , значит, вероятность выпадения решки равна . Результаты подбрасываний не зависят друг от друга, поэтому вероятность получить заданную последовательность орлов и решек будет равна произведению вероятностей получить каждый член последовательности при одном подбрасывании (подробнее про независимость мы поговорим в следующем параграфе). Если , то получаем:
,
,
,
.
И мы можем найти, например, следующую вероятность:
.
Описанное в этом примере вероятностное пространство является частным случаем более общей конструкции, которая называется декартовым произведением вероятностных пространств. Эта конструкция применяется, когда мы создаём вероятностное пространство для нескольких независимых последовательных экспериментов.
Итак, с теорией немножко разобрались. Теперь давайте обсудим, откуда брать вероятностное пространство на практике.
Частотный подход
Пусть мы проводим раз независимо какой-то эксперимент, результатом которого является один из исходов .
Например, мы проверяем, кликнет ли человек по рекламному баннеру в интернете, увидев его, или нет. В этом случае исходов всего два: либо кликнет, либо нет. Закон больших чисел, про который мы подробно поговорим позже, утверждает, что по мере увеличения числа проведённых экспериментов доля появлений результата стремится к .
То есть для построения вероятностной модели можно провести эксперимент очень большое количество раз и взять долю каждого элементарного исхода в качестве его вероятности. Такой подход к построению вероятностного пространства называется частотным.
На иллюстрации ниже — пример, как найти вероятности для кликов по баннеру.
Итак, в этом параграфе вы научились строить вероятностные пространства и вычислять вероятности простых событий. Тем не менее в практике анализа случайных процессов важно учитывать, что события могут быть связаны друг с другом. Именно для этого существуют условная вероятность, формула Байеса и формула полной вероятности, которые мы разберём в следующем параграфе.