В этой главе мы погрузимся в линейную алгебру — язык, на котором говорят данные.

Мы сделаем акцент не на строгой теории, а на геометрической интуиции и практическом применении её инструментов в анализе данных и машинном обучении. Вы увидите, как абстрактные векторы и матрицы превращаются в мощные инструменты для представления данных, выявления скрытых закономерностей и построения предсказательных моделей.

В следующих параграфах этой главы мы обсудим ключевые концепции и их применение:

• Фундаментальные объекты: векторы и матрицы. Мы начнём с основ: повторим, как векторы используются для описания признаков, а матрицы — для представления датасетов и линейных преобразований. Разберёмся с понятием линейной независимости, чтобы избегать избыточности в данных, и поработаем с Python-библиотеками numpy и pandas.
• Ключевые инструменты: системы линейных уравнений (СЛУ) и определитель. Далее мы рассмотрим, как СЛУ помогают решать практические задачи, и поймём глубокий геометрический смысл определителя — как он описывает изменение объёма пространства, что важно для понимания работы многих алгоритмов.
• Геометрия признакового пространства: нормы, расстояния и углы. Здесь мы перейдём от объектов к измерениям. Вы узнаете, что такое нормы (, ) и как они определяют длину векторов. Мы разберём, как скалярное произведение и косинусная мера помогают оценить сходство и как из ортогональных проекций выводится метод наименьших квадратов.
• Построение эффективных базисов: ортогонализация и QR-разложение. Мы изучим, как с помощью метода Грама — Шмидта превратить обычный набор признаков в идеальный — ортонормированный, где все направления независимы. Это приведёт нас к QR-разложению — мощному инструменту для повышения численной устойчивости алгоритмов.
• Снижение размерности и латентные факторы. Мы научимся находить скрытую структуру в данных высокой размерности. Вы увидите, как метод главных компонент (PCA) и SVD-разложение извлекают главные направления изменчивости, а их аналоги — LSA и NMF — используются для тематического моделирования текстов и построения рекомендательных систем.
• Линейные модели и регуляризация. В завершение мы применим все полученные знания для построения предсказательных моделей. Мы разберём линейную и логистическую регрессии, изучим метод опорных векторов (SVM) и ядровой трюк. А главное — поймём, как регуляризация (Ridge, Lasso) и препроцессинг признаков помогают бороться с переобучением и делают модели по-настоящему робастными, то есть устойчивыми к выбросам, шуму в данных и способными хорошо работать на новых примерах.

Мы ожидаем, что вы уже знакомы с базовыми операциями и понятиями, такими как векторы и матрицы. Но даже если нет, не переживайте — мы разберём всё с нуля. Вы увидите, как эти концепции из учебников оживают при решении реальных задач.

💡Наша цель — провести вас по полному циклу работы с данными с точки зрения линейной алгебры: от того, как представить объекты в виде векторов, до того, как построить на их основе устойчивую и интерпретируемую модель.

Что вам даст эта глава:

• Понимание базовых объектов. Вы научитесь представлять данные в виде векторов и матриц и применять основные операции для их преобразования.
• Навыки измерения в многомерном пространстве. Вы освоите различные нормы и метрики, поймёте их геометрический смысл и научитесь выбирать подходящие для конкретных задач: от регуляризации до кластеризации.
• Умение извлекать скрытую структуру. Вы освоите методы снижения размерности для выявления латентных факторов, сжатия данных и построения рекомендательных систем.
• Навыки построения и стабилизации моделей. Вы научитесь строить, интерпретировать и настраивать линейные модели, включая линейную и логистическую регрессии, а также SVM. Вы поймёте, как регуляризация и грамотный препроцессинг делают модели устойчивыми и эффективными.
• Практические навыки. Используя Python-библиотеки numpy и pandas, вы освоите все ключевые операции: от матричных разложений до обучения и оценки моделей.

А теперь давайте погрузимся в мир линейной алгебры!