Математика — это реальная сила, оживляющая железо. Для меня особое место в математике занимает теория оптимизации — это универсальный математический инструмент, ведь почти любую инженерную задачу можно переформулировать как задачу минимизации ошибки.
В работе над задачей SLAM (одновременной локализации и картографирования) я вижу, как миллионы множителей и разряженные матрицы сходятся в аккуратное решение, позволяя роботу ориентироваться в пространстве.
Красота математики именно в том, что из строгих формул рождаются конкретные движения, конкретные действия, конкретные результаты. Нужно исследовать всё, что считаешь интересным, не боясь прикладных направлений, и искать вдохновение на стыке наук — математики, биологии, инженерии.
Математическое мышление — это не про свободу, а про ограничения. Именно в них рождается стройность и точность, без которых невозможно ни доказательство, ни технология. Это умение выстраивать взаимосвязи, искать оптимальность и, если нужно, посмотреть на задачу под совсем другим углом.
Сильная математическая культура ШАД строится не на сухой теории, а на любви к точности — от преподавателей, которые этой любовью заражены, к студентам, которые готовы быть строгими к себе. Математика даёт не только язык формул, но и язык технологизации — переход от «я умею» к «я могу передать знание дальше». Именно здесь, считай, и начинается настоящее мастерство.
Больше о Школе анализа данных здесь.
В 1847 году инженер и педагог Оливер Бирн переиздал «Начала» Евклида так, как их никто не видел: без формул, почти без слов — играя только с цветом, формой и композицией. Это был первый учебник, фактически ставший произведением графического дизайна.
Подробнее читайте в нашем лонгриде для журнала 8БИТ.
Всем известные крестики-нолики могут быть детально рассмотрены с точки зрения математики через призму теории игр: это игра с нулевой суммой (выигрыш одного игрока всегда равен проигрышу другого), обладающая равновесием Нэша — при идеальной игре, когда каждый игрок стремится не дать сопернику победить, их оптимальные стратегии всегда приведут к ничьей.
В Кинопоиске математика незаметна, но она повсюду — от рекомендаций до аналитики контента. Пользователь просто листает страницу, а формулы уже обновляют модели и прогнозы. Мне ближе байесовский подход: он позволяет думать о данных как о живом процессе, где знание постоянно уточняется. Мы не доказываем гипотезу, а просто смотрим, выдерживает ли она столкновение с реальностью.
А ещё я обожаю эконометрику — она учит не просто считать, а понимать, что именно стоит за каждой цифрой. Когда студенты пытаются проскочить её и сразу нырнуть в машинное обучение, я всегда говорю: «Научитесь интерпретировать». Потому что именно интерпретируемость моделей помогает нам честно понять, а на какой, собственно, вопрос ты отвечаешь и хочешь ответить.
Каждый раз, когда ваш смартфон показывает ваше местоположение, он решает систему уравнений в режиме реального времени. Спутники GPS на орбите отправляют сигналы с точным временем. Ваш телефон получает сигналы минимум от четырёх спутников и вычисляет расстояние до каждого по задержке сигнала. Затем применяется трилатерация — метод определения координат через пересечение сфер.
Но есть нюанс: из-за теории относительности Эйнштейна часы на спутниках идут быстрее, чем на Земле! Без учёта этого эффекта GPS ошибался бы на 10 километров в день. Математика и физика работают вместе, чтобы вы не заблудились.
Компьютерное зрение основано на линейной алгебре и теории вероятностей. Алгоритмы обрабатывают изображение как огромную матрицу чисел, преобразуют её через фильтры и свёртки, чтобы выделить границы, формы и цвета.
Именно благодаря этому распознаются лица в телефонах, дорожные знаки для беспилотных автомобилей и дефекты на конвейере на заводах. За каждым пикселем, считай, миллионы операций, где математика учит машину «видеть» мир.
Мне всегда нравился процесс изучения новых тем и однажды я поняла, что мне интересно делиться знаниями с другими. Поэтому я пошла в методисты: для меня важно, чтобы математика была доступной и понятной каждому без «порогов» или ощущения, что это привилегия избранных.
Когда я преподаю, я строю обучение от конкретного к абстрактному: сначала дети считают на пальцах, потом цифрами, затем буквами, постепенно поднимая уровень абстракции. Это помогает преодолеть страх и математическую тревожность, которая часто мешает детям учиться. Исследования показывают, что успехи детей зависят от их уверенности: если они верят, что могут, они действительно справляются лучше.
Даже для взрослых освоение математики возможно: нейропластичность мозга позволяет учиться и развивать когнитивные навыки в любом возрасте. Моя цель — сделать так, чтобы математика приносила удовольствие: когда человек видит результат своих усилий, понимает, что смог решить задачу, — это настоящий кайф. В этом, считай, и есть настоящая сила и красота математики.
Узнать больше про Яндекс Учебник тут.
Метеорологи используют сложные системы уравнений и численные модели для прогнозирования погоды. Те же принципы применяются в моделировании потоков жидкости и аэродинамике: формулы Навье — Стокса помогают предсказать движение воздуха и воды. А в последние годы, по мере того как развиваются технологии, направленные на работу ИИ и обучение нейросетей, улучшается и точность прогнозирования. И если сегодня благодаря прогнозу вы не забыли зонт — возможно, в Яндекс Погоде сидит математик и думает о вас.
Когда чему-то учишься, зачастую не осознаёшь, что в это время происходит на глубинном уровне. Куда катишь камень в своей голове, к какому локальному минимуму он помчится, когда преодолеешь очередной подъём? Пока я изнемогал, грызя мучебники (мат. учебники) без особого энтузиазма (и успеха...), незаметно для меня набирались универсальные навыки и знания — например, навыки абстрактного мышления.
Далеко не сразу, но изучение матанализа, численных методов, теории вероятностей и пр. дало плоды, действующие в синергии друг с другом. Даже в работе программистом в Yandex Cloud — казалось бы, напрямую не связанной с математикой!
Знаете мем «о да, теперь всё встаёт на свои места»? Изучая математику, его можно прочувствовать в полной мере. Тропы к ценному знанию могут оказаться крутыми, петляющими, с обрывами и тупиками — но они преодолимы, особенно для тех, кто запасся упорством и не пренебрёг подмогой.
Я занимаюсь задачами машинного обучения, которые делают жизнь людей немного проще. Например, мы учим модели определять, где именно находится точка выдачи заказа — не просто здание, а нужная дверь, нужный вход. Курьеру больше не приходится блуждать, а пользователь получает заказ быстрее. Математика тут работает буквально на уровне координат, но за ней стоит целый пласт идей — статистика, оптимизация, теория вероятностей.
Мне часто задают вопрос: можно ли быть хорошим ML-инженером без математической базы? Я считаю, что нет. Математика — это то, что помогает не просто «крутить параметры», а понимать, почему модель работает и как сделать её лучше. Для меня она всегда была не профессией, а хобби, способом держать мозги в тонусе. Кто-то играет в шахматы, а я решаю задачи.
Знали ли вы, что каждая снежинка уникальна, но... все они без исключения имеют шестиугольную форму и симметрию! И, да, если в детском саду вас учили вырезать из бумаги восьмиугольные снежинки — вас жестоко обманули.
И это не совпадение, а настоящая математическая необходимость! Молекулы воды (H₂O) соединяются под углом 120 градусов из-за своей химической структуры. Когда водяной пар замерзает в облаках, молекулы выстраиваются в кристаллическую гексагональную решётку, образуя правильный шестиугольник. Дальнейший рост зависит от температуры и влажности — поэтому узоры всегда разные, но базовая геометрия остаётся.
Правда, не все снежинки долетают до земли шестиугольными, есть и треугольные. Они начинают свой путь как шестиугольники, но воздушные потоки в атмосфере могут способствовать ускорению роста трёх чередующихся лучей, и кристалл выглядит как треугольный. Может произойти и так, что два шестиугольных кристалла слипаются и начинают расти как один, формально образуя двенадцатилучевую снежинку.
Первым «снежинковедом» стал математик Иоганн Кеплер, написавший в 1611 году свой знаковый трактат «О шестиугольных снежинках». Зима — это, считай, урок кристаллографии и теории групп симметрии!
Когда вы слушаете приятный аккорд на гитаре или фортепиано, вы на самом деле слышите математику. Ещё Пифагор заметил, что гармонично звучащие ноты связаны простыми числовыми отношениями. Пифагор называл эти интервалы «совершенными». Если струна вдвое короче, она звучит на октаву выше, с отношением частот 2:1. Октава имеет отношение частот 2:1, совершенная квинта — 3:2, а совершенная кварта — 4:3.
Современные музыкальные инструменты настроены по равномерно темперированному строю, в котором октава делится на 12 равных частей, а отношение частот между соседними полутонами равно в точности... ¹²√2! Бах и The Beatles, считай, тоже жить не могли без математики.
Математика важна не только как академическая дисциплина, но и как способ тренировать мозг. Она помогает детям и взрослым преодолевать страх перед неизвестным, учит работать с логикой и алгоритмами, развивает способность мыслить системно и абстрактно.
Школьная математика учит системному мышлению, развивает способность строить свои пути к решениям и справляться с неопределённостью. Даже простые арифметические операции и понятие функций формируют базу для сложных идей, будь то физика, программирование или анализ данных.
Я считаю, что главное в обучении — показать, что математика может быть доступной каждому, если объяснять её через реальные примеры, интуицию и постепенный рост абстракции.
Подробнее о Яндекс Лицее.
Каждый раз, когда вы заходите в интернет-банк или мессенджер, вас защищает математика. Шифрование данных опирается на теорию чисел и сложные алгебраические структуры. Например, в RSA используется то, что не известно эффективного способа разложить на множители большое число, полученное как произведение двух больших простых чисел. В других системах, таких как криптография на эллиптических кривых, безопасность основана на том, что для задачи дискретного логарифмирования также не найдено быстрого решения.
Алгоритм RSA или эллиптические кривые создают защиту, которую невозможно «взломать» грубой силой — на это потребовались бы миллиарды лет вычислений. Если цифровые сервисы и могут быть безопасными — то именно благодаря математике: она делает возможным то, что данные передаются, хранятся и проверяются не в открытом виде, а через сложные криптографические конструкции.
В физике я привык описывать реальный мир языком формул. Ты видишь какое-то явление, переводишь его в математику — и вдруг обнаруживаешь связи, которых раньше не замечал. В аналитике всё то же самое, только вместо атомов и молекул — люди, данные, поведение пользователей.
Мне кажется, суть математики в том, что она беспристрастна. Иногда сложно убедить человека в чём-то, если он с этим не согласен. Но математика как раз таки позволяет это сделать, потому что математика — это довольно формальный язык, который позволяет тебе говорить на языке фактов, которые будут обоснованы и которые сложно оспаривать в большинстве случаев. Поэтому, конечно, математика упрощает, упрощает коммуникации со всем и всеми. Тебе не нужно спорить с человеком и доказывать ему что-то. Ты можешь просто предоставить, так сказать, математику — и всё. Вместо всех красноречивых уговоров, считай, математика делает всё для тебя.
Для меня красота математики — в связях. Когда видишь, как задачи из разных областей вдруг оказываются одним и тем же, просто выраженным другими словами, — это настоящее удовольствие. Именно это чувство я стараюсь передать студентам: что доказательство — не скучная формальность, а способ понять, почему всё работает.
В какой-то момент я осознал, что хороший код мало чем отличается от хорошего доказательства: и там и там важно не только чтобы «работало», но и чтобы было изящно, точно и понятно. А ещё математика учит сосредоточенности — умению сесть, отключить всё вокруг и думать над одной задачей без переключений.
Навигационные приложения, такие как Яндекс Карты, строят маршруты, используя графы и алгоритмы поиска кратчайшего пути, например Dijkstra и A*.
Эти же принципы применяются в робототехнике. Например, роботы-пылесосы или дроны прокладывают маршрут по сетке комнаты или пространства, обходя препятствия.
Даже в компьютерных играх персонажи и враги «думают» подобно навигатору: ищут оптимальный путь к цели, балансируя между скоростью и безопасностью.
Когда школьником я учился в математическом кружке, мы не просто решали задачи: мы спорили, доказывали, обсуждали, приходили к истине вместе с преподавателем. Этот опыт научил меня, что истина рождается в споре, — это принцип, который я применяю и в работе, и в преподавании.
Студентом я столкнулся с «экзистенциальным ужасом»: как применить свои знания? Тогда появился мост между образованием и индустрией — я начал применять математику в реальном мире, решая алгоритмические задачи на огромных графах, строя маршруты для миллионов пользователей.
Для меня красота математики — в сочетании простоты и глубины. Например, задача «Разборчивая невеста» позволяет найти лучшего жениха среди миллиона кандидатов с вероятностью 37%, применяя простую стратегию. Или задача про делёж пирога: один режет, другой выбирает — и оба довольны. Кажется простым, но внутри скрыта удивительная логика.
Математика учит критически мыслить, проверять гипотезы, строить цепочки рассуждений, видеть общее за частным. И самое главное — она открывает дверь к пониманию мира вокруг нас. Даже школьная геометрия важна не сама по себе, а потому, что она учит строить пирамиду знаний, комбинировать утверждения и делать выводы.
Если вы спросите, зачем погружаться в математику, я отвечу: потому что это ключ ко многим другим областям, это способ понимать, создавать, решать и удивляться. И чем раньше вы начнёте это видеть, тем интереснее станет путь познания.
Как кошка переворачивается в воздухе и приземляется на лапы, даже если её отпустили вверх ногами? Это не магия, а физика и дифференциальная геометрия! Кошка использует то, что математики называют «теоремой о нулевом угловом моменте». Она изгибает тело особым образом: сначала прижимает к себе передние лапы и вращает переднюю часть, затем прижимает задние и поворачивает заднюю. Этот принцип изучается в космонавтике для управления ориентацией спутников без двигателей и в робототехнике для создания роботов, способных балансировать при падении. Кошки, считай, прирождённые профессора топологии...
Я работаю в аналитике, и математика — это ежедневная рутина. Каждый день мы решаем, как распределить товары, балансируя выручку и прибыль, выбираем скорость доставки и цену, чтобы результаты были оптимальны. Часто приходится оценивать потенциальный спрос на совершенно новые продукты, собирать данные и строить модели, чтобы понять, сколько людей реально заинтересованы и как масштабировать производство.
Мне нравится не сама формула, а её применение. Например, ряды Фурье помогают разложить продажи на тренды и сезонность, чтобы делать точные прогнозы. Математика помогает структурировать хаос: когда видишь, что неизвестное не бесконечно, а его можно описать и измерить, — жить становится легче.
Для меня математика — это базовый язык науки и инструмент для рационального мышления. Она помогает оценивать несколько исходов, взвешивать плюсы и минусы и принимать решения, не полагаясь на эмоции. И, если встретил бы себя подростком, я сказал бы: учи математику — она открывает мир и даёт ключ к пониманию, считай, всего вокруг.
Математика — это не набор теорем, а способ видеть мир критически, искать доказательства и не подгонять факты под ожидания. Деление на «гуманитариев» и «технарей» — просто миф: математическое мышление не врождённое, а тренируемое.
Математика помогает понять человека через статистические методы: психометрика измеряет «невидимые» качества, на первый взгляд подсчётам не подлежащие — мотивацию, личностные особенности, склонности мышления. И есть в этом что-то поэтическое — когда к формулам прибегают не для решения уравнений, а для раскрытия людей.
Узнать больше о Яндекс Практикуме можно здесь.
Посмотрите на центр подсолнуха или на шишку — вы увидите спирали, закручивающиеся в обе стороны. Если их посчитать, часто получаются числа Фибоначчи: 21 и 34, или 34 и 55, или даже 55 и 89!
В последовательности Фибоначчи каждое число — сумма двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Как ни удивительно, она появляется во множестве природных объектов. Растения используют связанное с ней золотое сечение для оптимального расположения семян и листьев, чтобы они получали максимум солнечного света. Природа — гениальный математик!
Для меня в студенческие годы всё началось с задачи, которая казалась нерешаемой, но вдруг распадалась на изящное, почти очевидное решение. Это чувство — как если бы ты нащупал внутреннюю логику мира. В нём математика перестаёт быть просто формулами и становится способом видеть порядок вещей.
Я никогда не переставал удивляться тому, как математика «прячется» в неожиданных областях — от сжатия данных до систем прогнозирования спроса. Так, например, внезапным осознанием за время работы в команде Яндекс Рекламы для меня стало то, что даже такие «коммерческие» сферы, как реклама, на деле глубоко математичны (привет, теория аукционов!). Например, именно математика отвечает за экономику и за то, как сделать процесс для клиента кратно эффективнее.
Когда Яндекс Музыка рекомендует вам новый трек, за этим стоит линейная алгебра и машинное обучение. Система создаёт огромную матрицу: строки — это пользователи, столбцы — треки, а ячейки — оценки. Большинство ячеек пусты (вы не слушали всю музыку), и задача — предсказать, что вам понравится. Для этого используется сингулярное разложение матриц, которое находит скрытые паттерны: какие жанры музыки слушают люди со сходными вкусами. Алгоритм учитывает тысячи параметров и постоянно обучается. Иногда математика знает о ваших предпочтениях — считай, больше, чем вы сами!
Когда муравьи ищут пищу, они решают сложнейшую оптимизационную задачу — находят кратчайший маршрут между гнездом и едой. Каждый муравей оставляет феромоновый след, и чем короче путь, тем быстрее феромон накапливается (больше муравьёв успевает пройти). Слабые следы испаряются. Так колония «вычисляет» оптимум без центрального управления.
Этот принцип лёг в основу «муравьиных алгоритмов», которые используются для маршрутизации интернет-трафика, планирования логистики и даже проектирования микросхем. Природа изобрела распределённые вычисления, считай, задолго до компьютеров...
Пчелиные соты — это шедевр математической оптимизации. Пчёлы строят ячейки в форме правильных шестиугольников, и это не случайность. Математики доказали, что из всех возможных форм, которые могут плотно заполнить плоскость без пропусков, именно шестиугольник требует наименьшего количества воска при максимальном объёме для хранения мёда. Это называется «гипотеза пчелиных сот», и её строгое доказательство было получено только в 1999 году математиком Томасом Хейлсом. Природа использовала этот принцип, считай, за миллионы лет до того, как люди открыли теорию оптимизации...
ИИ и алгоритмы рекомендаций в Яндекс Лавке и Яндекс Еде используют статистику и теорию вероятностей. Они анализируют покупки миллионов людей, чтобы предсказывать, что вам захочется купить завтра. И если сегодня на завтрак вы едите именно этот йогурт — считай, это не случайно...
Снежинка Коха — это фрактал, каждая итерация которого получается заменой каждого отрезка на четыре меньших: средняя треть превращается в два ребра равностороннего треугольника. После бесконечного числа итераций получается кривая бесконечной длины, ограничивающая конечную область.