Очень большие числа

Устоявшегося названия у этого раздела нет, но некоторые любители математики называют его гугологией. Речь идёт об исследованиях в области чисел, на много порядков превосходящих те, к которым мы привыкли в повседневной жизни.

Числа вроде гуголплекса крайне редко встречаются в природе и математических работах, поэтому сложно говорить об их применении. Из наиболее известных можно вспомнить число Грэма — очень большую степень тройки. Возможно, в какой-то момент абстрактные математические понятия станут фундаментом для новых технологий. Например, когда мы будем говорить об очень больших (космических) и очень малых (субатомных) расстояниях.

Гугология меня заинтересовала своей практической неприменимостью и возможностью почувствовать дыхание вечности. Несколько лет назад я с таким же восхищением проходил курс по астрономии. Когда человек с карандашом и листочком бумаги может оперировать масштабами, превосходящими нашу Вселенную, — это впечатляет.

Антон Алексашкин, менеджер образовательных продуктов Яндекса

Математическая криптография

Этот раздел математики занимается разработкой и анализом математических алгоритмов для шифрования и расшифровки информации. Математическая криптография повышает уровень безопасности информационных систем путём создания новых и улучшения существующих методов шифрования. Она помогает в разных задачах — от общения между людьми, которые не хотят, чтобы их сообщения прочитали посторонние, до обеспечения безопасного онлайн-банкинга.

Математическая криптография помогает людям передавать сообщения таким образом, чтобы только предполагаемый получатель мог их прочитать. Это своего рода создание «секретного кода».

Варвара Четвертакова, руководитель службы сопровождения и развития образовательных проектов Яндекса

В интернете многие системы работают на основе криптографии. Например, пароли от аккаунтов Яндекса или Google не сохраняются в открытом виде, а шифруются и хранятся в базе данных. Даже если кто-то получит к ней доступ, ваши данные останутся в безопасности, так как без ключа шифрования она бесполезна.

Математическая криптография играет важную роль в таких областях, как беспроводные сети, цифровые платежи, интернет-банкинг. Например, протокол HTTPS (HTTP Secure) использует алгоритмы шифрования для защиты обмена данными между веб-браузером и веб-сайтом. Это позволяет предотвратить перехват и изменение информации.

Ещё один пример — блокчейн, технология, на которой основаны криптовалюты, такие как биткоин. Для обеспечения безопасности транзакций в блокчейне используются криптографические методы.

Гомотопическая теория типов

ГТТ — сравнительно новое направление в математике и информатике. В общем смысле это метод организации и классификации различных объектов. ГТТ объединяет элементы теории типов, логики, гомотопической топологии и категорий и изучает так называемые типы — категории или классы объектов и выражений.

ГТТ — это мощный инструмент, который позволяет математически доказывать сложные утверждения, используя внутреннюю логику типов. Это означает, что доказательства формулируются и проверяются внутри самой системы типов.

Можно объяснить ГТТ на примере котиков. ГТТ позволяет нам классифицировать котиков, работать с ними организованно и структурированно. Представим, что у нас есть два типа котиков: Котик Домашний, который включает в себя всех домашних кошек, и Котик Уличный, подразумевающий всех бродячих.

Важно понимать, что в ГТТ равенство кошек не означает их полную идентичность. Два Котика Домашних могут быть равны в рамках ГТТ, даже если они различаются по размеру или окрасу. Мы можем «перейти» от одного котика к другому, используя определённые шаги — преобразования. Например, мы можем подстричь одного кота или покрасить его, чтобы сделать похожим на другого. Это «путь» от одного котика к другому, который в топологии называется гомотопией.

Также ГТТ позволяет нам определять функции с котиками или их типами. Например, у нас может быть функция «переход от Котика Уличного к Котику Домашнему», которая включает уход за уличным котом и превращение его в домашнего. Эта функция преобразует один тип котов в другой, и в рамках ГТТ мы можем определить, правильно ли двигается функция между этими двумя типами.

Варвара Четвертакова, руководитель службы сопровождения и развития образовательных проектов Яндекса

Предположим, вы создаёте новую программу или приложение. В своей работе вы будете иметь дело с разными типами данных: числами, текстом, изображениями, временными данными и так далее. Гомотопическая теория типов может стать эффективным инструментом для систематизации этих данных. Она позволяет точно определить, какие операции можно выполнять с каждым типом.

Это значительно упрощает процесс написания кода и снижает риск возникновения ошибок. Например, мы можем складывать и умножать числа, но применить те же операции к изображениям или тексту не получится. Гомотопическая теория типов учитывает это и помогает организовать работу с различными типами данных более эффективно. Благодаря этому ваш код станет структурированнее и надёжнее.

Теория катастроф

Она изучает, как изменения (они же катастрофы) окружающего мира в определённых обстоятельствах могут привести к серьёзным и резким изменениям в целой системе. Теория катастроф исследует, как мир переходит от одного состояния к другому и какие факторы вызывают эти быстрые и критические переходы.

Эта теория находит применение не только в математике. Например, в естественных науках теория катастроф помогает объяснить, как незначительные изменения погодных условий могут вызвать мощный ураган. В экологии она показывает, как небольшие изменения в численности одного вида могут разрушить всю экосистему.

В экономике теория катастроф также полезна. Она позволяет прогнозировать, как небольшие изменения экономической политики могут привести к глобальному экономическому кризису.

Теория катастроф помогает лучше понимать и прогнозировать «катастрофические» события, начиная от тектонических землетрясений и заканчивая финансовыми кризисами. Она также даёт нам возможность предотвращать некоторые из этих «катастроф», если у нас достаточно информации для анализа и применения теории.

Варвара Четвертакова, руководитель службы сопровождения и развития образовательных проектов Яндекса

Парадокс Симпсона

Это не раздел математики, а явление, которое позволяет взглянуть иначе на многие данные и процессы. Парадокс Симпсона заключается в том, что результаты, полученные при анализе данных по разным группам, могут противоречить результатам, полученным при анализе данных по объединённым группам. Это может привести к искажению выводов о взаимосвязи между переменными или оценки эффективности какого-либо воздействия.

Понимание парадокса Симпсона важно, поскольку может помочь избежать неверных выводов и корректно интерпретировать результаты исследований.

Если коротко, суть в том, что тенденция, наблюдаемая на выборке, может исчезнуть, если выборку поделить на части. Или наоборот: если объединить несколько выборок, тенденция сменяется на противоположную. Каждый раз, когда вы читаете, например, что лекарство Х помогает такой-то группе пациентов, — это может оказаться следствием парадокса Симпсона, а не объективной реальностью.

Все примеры парадокса Симпсона, о которых я читала, лишь подтверждают, что мы можем с лёгкостью сделать неверные выводы, опираясь на корректные данные. Например, потрясающий кейс — про дискриминацию в Беркли по половому признаку. Объединение выборки всех поступающих показывает, что женщин дискриминируют, а если выборку разделить по факультетам, то всё исчезает.

Света Бочавер, руководитель продуктового офиса в Яндекс Образовании

Теория множеств

Раздел отвечает за исследование коллекций объектов, их называют множествами. Но это не просто академическая база для всей математики, у неё широкое применение в практических кейсах. Например, в IT: теория множеств — основа для работы с базами данных. Работая с запросами, мы используем операции над множествами, такие как пересечение и объединение данных.

В рекомендательных системах (Кинопоиск, Маркет, Netflix или Amazon) теория множеств помогает понять, что предложить пользователю, анализируя пересечения и объединения интересов.

В финансах она помогает анализировать и сравнивать портфели, находить риски. Любого инвестора заботит максимизация прибыли и балансировка инвестиционного портфеля. Теория множеств здесь приходит на помощь как надёжный математический инструмент для анализа и сравнения.

Приведём упрощённый пример использования теории множеств в финансах. Определим каждый портфель как множество активов:

• Портфель A с акциями компаний X и Y, а также облигациями компании Z.

• Портфель B с акциями компаний Y и W.

Первым шагом будет поиск объединения множеств активов из обоих портфелей. Это помогает определить полный список уникальных активов, которые входят в любой из портфелей.

A ∪ B = {акции компании X, акции компании Y, облигации компании Z, акции компании W}

Вторым шагом находим пересечение множеств активов, чтобы определить, что есть в обоих портфелях. Это позволяет выявить общие инвестиции.

A ∩ B = {акции компании Y}

Третьим шагом определим разность множеств активов. Это нужно, чтобы выяснить, какие активы уникальны для каждого портфеля.

Смотрим на получившиеся данные, анализируем — и можем оптимизировать свои портфели. Например, в похожие добавить больше уникальных активов для улучшения диверсификации и снижения рисков. Портфель с большим числом уникальных активов относительно других может быть более диверсифицированным, что потенциально снижает риск потерять деньги.

Теория множеств в финансах помогает нам структурировать хаос рыночных данных и находить новые взаимосвязи между риском и доходностью

Анастасия Тмур, менеджер проектов Яндекс Образования